本篇将会讨论一些混音中常用效果器的实现，包括均衡器，失真器，压缩器，限制器，延迟器与混响器。
均衡器（Equalizer）
上一篇中我们实现了一个简单的低通滤波器。实际混音中使用的均衡器功能要复杂的多，并不是简单地保留一部分频率或者消去一部分频率，更多时候需要调整不同频段的相对强度和比例，类似于下图这样：
均衡器（equalizer），简称EQ，通过多个基本滤波器的串联和并联来实现对不同频段的强度调整。
组成均衡器的常用滤波器类型有低通滤波器（允许低频通过），高通滤波器（允许高频），带通滤波器（允许特定频率范围），带阻滤波器（阻止特定频率通过），钟形滤波器（增强或减弱特定频率范围）等。
例如使用均衡器制作电话音效果时，需要在均衡器里同时开启高切（低通）和低切（高通），这实质上就是让信号先通过一个低通滤波器，再通过一个高通滤波器，即串联结构。高通滤波器的递推公式推导过程同低通滤波器，根据下图的模拟电路计算传递函数再离散化即可。
高通频率响应长这样：
钟形滤波器频率响应如下，蓝色为振幅响应，品红色为相位响应：
滤波器的并联也很好理解。将一部分信号通过低通滤波器，一部分信号不作任何处理，再将两部分信号混合。理论上，我们应该得到这样的响应，即高频被衰减了一部分：
但这样做有一个严重的问题：相位差。让我们复习一下RC低通滤波电路的网络函数：
$H(jw)=\frac{1}{1+\frac{\omega}{\omega_{c}}}$
此前我们仅取模得到了振幅的变化。现在我们计算一下相位变化：
$\theta(\omega)=-arctan(\frac{\omega}{\omega_{c}})$
可以看到，信号在通过滤波器后发生了相位偏移，且此偏移是非线性的，不同频率的信号偏移程度不同。如果直接将偏移了相位的信号与原信号叠加，两者会干涉导致振幅减小。如下图：
这里$y_3=y_1+y_2 $的振幅是小于$y_1$和$y_2$的振幅之和的。
因此叠加前需要对原信号施加相同的相位改变。通常的做法是通过一个全通滤波器，即只改变相位，不改变振幅的滤波器。全通滤波器的传递函数可以是这样的：
$H(j\omega) = \frac{ j\omega – \omega_c }{ j\omega + \omega_c }$
计算一下相位：
$\theta(\omega)=-2arctan(\frac{\omega}{\omega_{c}})$
以给定滤波器的相位响应和频域不变为条件，可以求解出给定滤波器对应的全通滤波器。
在频域不变的情况下，全通滤波器实现了同样非线性的相位偏移。当滤波器并联时，我们经常需要通过相应的全通滤波器来先统一信号相位，再进行叠加。
注：这种不断迭代的滤波器属于无限冲激响应（infinite impulse response filter，IIR）型滤波器，每一时刻输出都取决于所有过往时刻。在数字滤波器一节的开头被我们弃用的滤波方案，即傅里叶变换+频域操作+傅里叶逆变换属于有限冲激响应（finite impulse response filter，FIR）型滤波器。FIR滤波器不会产生非线性的相位偏移，因此常用于对相位要求高、滤波器性能要求低的场合，比如图像处理。
失真器（Distortion）
在讲了这么多频域相关的数学后，是时候来点轻松些的内容了。
响度那一节当中我们提到过，摇滚乐会利用削波失真营造特殊的音响效果。当波形振幅太大，超出了系统的记录范围，就会导致波形被削顶，其频域成分也就会改变。如下图。
被削波后的波形会产生数量较多的谐波，使其音色发生变化。
由于模拟设备的特性，削波还分为软削波和硬削波。数字音频处理中最容易实现的是硬削波。
压缩器（Compressor）
压缩器类似于一个自动的音量推子，当音量超过设定的阈值后，自动以一定的比例减小音量，当音量低于阈值后再把音量复原。压缩器可以降低音乐的动态范围，让低音量的细节声音也能被听清，同时让音量过高的部分降低音量，保护耳朵和音响。
如图，可以看到音频在音量突然变大后，压缩器开始启动并将音频音量以预定压缩比压小；在音频音量减小之后，压缩器停止压缩，释放音量。启动时间和释放时间一般称作attack和release。
代码实现上，在检测到音频振幅超出预定范围后，将音频按预定压缩比降低音量即可。
压缩器对于响度差异大，声音忽大忽小的音频特别有用，比如VOCALOID编辑器直出的洛天依v3/v4萌干音。
限制器（Limiter）
在处理音频时，大部分时候我们不需要失真效果。限制器可以将音频振幅减小到指定范围内，同时保持波形不变（不削波）。
限制器的实质是一种启动时间极短，压缩比无限大的压缩器。与压缩器总以固定压缩比减小音量不同，限制器没有固定压缩比，会减小音量直到音量小于阈值为止。
在音乐制作中常用限制器配合增益来最大化响度。但如果为了响度一味的压音频，就会损失过多动态范围，听起来很塑料。
延迟器（Delay）
延迟器会创造出一个不断衰减的“回声”效果。这里有一个示例（注意45秒之后“色彩”两个字的回音）。
延迟间隔一般和歌曲BPM节拍是同步的。这里设延迟时间为T，每一次延迟之间强度比都是a，则有：
$Y[t]=X[t]+a*Y[t-T]$
和数字滤波器同理，只需要用一个循环结构迭代即可。时间复杂度为$O(n)$。
由于和数字滤波器采用了相同的迭代结构，迭代过程中还可以先输出，再给信号进行滤波，这样每回音一次回音都会被滤波器作用，产生特定频段（常常是低频）不断衰减/增强的效果。
也有一些效果更复杂的延迟器，比如回音在左右声道不断跳动的Ping pong延迟，每次回声都反相处理，加入调制模块（Modulation）实现动态延迟时间等。实现起来并不复杂，这里暂不做讨论。
混响器（Reverb）
真实世界中，音频在空间中传播时会被不断反射。大多数时候反射声在原声发出后很短时间内到达人耳，因此人耳会将其认为是一个声音。混响会使声音变得跟浑厚，具有空间感，更自然。
人耳会先听到几个早期反射声，随后反射声和反射声的反射声在空间里不断传播，衰减，逐渐混合在一起。
与回声间隔固定的延迟器不同，混响是自然空间中的反射，因此无法用简单的迭代来模拟。大多数数字混响效果器会使用冲激响应函数的卷积（convolution）。
冲激函数（impulse function）在物理学上也被称作狄拉克函数。冲激函数的表达式如下：
此外，冲激函数的积分为1：
在数字信号处理中，狄拉克函数的对应离散函数被称作单位冲激函数（unit impulse function）。其定义如下：
冲激函数相当于一个极短的，强度为1的脉冲。冲激响应函数是系统对这个脉冲的响应，比如这样的：
响应函数可以理解为脉冲在发出后，在空间内不断反射，并在随后的时间中不断到达人耳。输入信号可以看做由一系列不同强度的冲激组成。信号$f(t)$经过冲激响应函数为$g(t)$的系统后，$t$时刻的输出相当于$\sum_{n=0}^{\infty} f(t-n)g(n)$。
举例来说，$t$时刻的信号相当于$f(t)*g(0)$（这个信号在系统里经过了0时刻）加上$f(t-1)*g(1)$（$t-1$时的信号经过了1时刻）加上$f(t-2)*g(2)$…等等。引用知乎@palet的图示来解释，如图：
反转平移，得到卷积表达式：
$(f*g)(n)=\sum_{\tau=-\infty }^{\infty}f(\tau)g(n-\tau)$
实际操作中采样长度和脉冲响应函数都是有限长的。而且混响在一段时间以后基本衰减到人耳听不见的范围内，考虑到计算开销可以适当缩减卷积大小。
参考文献